Le critère Kelly: vous ne connaissez pas la moitié

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Malgré des ressources substantielles consacrées à une éducation financière formelle, je n’ai pas rencontré le critère de Kelly en école de commerce ni dans le cursus de CFA. Je l’ai trouvée presque par accident, dans le livre charmant de William Poundstone.

Créé en 1956 par John Kelly, un scientifique des Bell Labs, le est une formule de dimensionnement à partir de laquelle l'investisseur obtient un rendement positif. C’est la seule formule que j’ai vue qui accompagne une preuve mathématique expliquant pourquoi elle peut générer des rendements à long terme plus élevés que toute autre solution.

À mon avis, la formule est conforme au concept de gestion de la valeur d'un et conduit à des portefeuilles concentrés dans lesquels les idées dominantes présentent le plus grand avantage et le plus petit inconvénient.

Malgré son obscurité relative et son manque de soutien académique traditionnel, le critère de Kelly a attiré certains des investisseurs les plus connus de la planète,,, et, parmi eux. Alors que la formule de Kelly nécessite une estimation anticipée de la distribution de probabilité des résultats d’investissement, c’est-à-dire une boule de cristal, son alternative principale, l’optimisation moyenne / variance de Harry Markowitz, nécessite une estimation de la matrice de covariance qui, pour une analyse ascendante investisseur, je pense est beaucoup plus difficile à obtenir.

Après avoir lu le livre de Poundstone, je voulais appliquer le critère de Kelly à mes propres placements. J'apprends par l'exemple et mes calculs sont rouillés. J'ai donc cherché un article court et non technique sur la manière dont la formule peut fonctionner dans un investissement de type équité.

Malheureusement, la plupart des sources que j'ai trouvées utilisent la mauvaise formule.

Le premier article en a présente un investissement simple et stylisé avec 60% de chances de gagner et 40% de perte de 20% à chaque simulation. Aucun autre résultat n'est possible et l'investissement peut être répété sur de nombreuses simulations ou périodes.

C’est clairement un bon investissement, avec une attente positive: E (x) = 60% * 20 + 40% * (-20%) = 4%. Mais quelle part du portefeuille devrait-il prendre? Une allocation trop faible et le portefeuille perdra de la croissance. Des résultats trop importants et quelques résultats malchanceux – même un seul – pourraient déprimer complètement le processus ou l’effacer complètement. Quelle répartition en pourcentage, appliquée systématiquement, maximise le taux de croissance potentiel du portefeuille à long terme?,, Etc., et est analogue à celle de La formule de la fortune: Kelly% = avantage / cote.

Mais la formule ne fonctionne que pour les paris binaires où le scénario à la baisse est une perte totale de capital, comme dans -100%. Un tel résultat peut s’appliquer au blackjack et aux courses de chevaux, mais rarement aux investissements sur les marchés financiers.

Si la perte en cas de perte est inférieure à 100%, comme dans le scénario ci-dessus, une formule de Kelly différente est requise: Kelly% = W / A – (1 – W) / B, où W est la probabilité de victoire, B le bénéfice en cas de victoire (20%) et A le potentiel de perte (également 20%).

Brancher les valeurs de notre scénario: Kelly% = 60% / 20% – (1 – 60%) / 20% = 100%, ce qui était l’allocation gagnante de Blue.

L'inconvénient théorique de tous les investissements sur les marchés financiers est de -100%. Les mauvaises choses arrivent. Les entreprises font faillite. Les obligations sont en défaut et sont parfois éliminées. C'est suffisant.

Mais pour une analyse des titres dans le cadre binaire impliqué par le bord / chance formule, la probabilité du scénario négatif doit être définie sur la probabilité d'un total perte en capital, pas la probabilité beaucoup plus grande de certains perte.

Le critère de Kelly suscite de nombreuses critiques. Et bien que la plupart sortent du cadre de cet article, un seul mérite d’être abordé. Passage à la formule «correcte» de Kelly – Kelly% = W / A – (1 – W) / B – conduit souvent à des allocations beaucoup plus élevées que la version plus populaire.

La plupart des investisseurs ne toléreront pas la volatilité et les tirages en résultant et opteront pour une réduction de l’allocation. C’est très bien – les deux variantes de la formule peuvent être réduites – mais la version «correcte» reste supérieure. Pourquoi? Parce qu'il explique et encourage explicitement les investisseurs à réfléchir au scénario défavorable.

Et selon mon expérience, un peu plus de temps passé à réfléchir à cela est richement récompensé.

Annexe: Mathématiques auxiliaires

Voici une dérivation de la formule de Kelly: un investisseur commence avec 1 $ et investit une fraction (k) du portefeuille dans un investissement avec deux résultats potentiels. Si l'investissement réussit, il retourne B et le portefeuille vaut 1 + kB. Si cela échoue, il perd A et le portefeuille vaudra 1 – kA.

La probabilité de réussite de l’investissement est w. L'investisseur peut répéter l'investissement aussi souvent qu'il le souhaite, mais il doit investir la même fraction (k) à chaque fois. Quelle fraction k maximisera le portefeuille à long terme?

À long terme, après n fois où n est important, l'investisseur devrait avoir w * n victoires et (1 – w) n pertes. Le portefeuille P vaudra:

Nous aimerions résoudre pour le k optimal:

Pour maximiser, prenons sa dérivée par rapport à k et la fixons à 0:

Résoudre pour k:

Notez que si la perte du scénario négatif est totale (A = 1), cette formule simplifie la version citée ci-dessus, plus populaire, car R = B / A = B / 1 = B:

Annexe: Code de support

Vous trouverez ci-dessous le code R utilisé pour produire la simulation et les graphiques ci-dessus.

################################################# ########
#Kelly Simulation, sécurité binaire
# par Alon Bochman
################################################# ########
trial = 1000 # Répétez la simulation autant de fois
périodes = 100 # périodes par simulation
winprob = 0.6 # Probabilité de victoire par période
renvoie = c (0.2, -0.2) # Bénéfice en cas de victoire, perte en cas de perte
fractions = c (0.2,1,1.5) # Allocations concurrentes à tester

bibliothèque (ggplot2)
bibliothèque (reshape2)
bibliothèque (ggrepel)
percent <- fonction (x, digits = 2, format = “f”,…) {
paste0 (formatC (100 * x, format = format, chiffres = chiffres,…), «%»)
}

set.seed (136)
richesse = tableau (données = 0, dim = c (essais, longueur (fractions), périodes))
richesse (,, 1) = 1 # Eq = 1 en période 1

Boucle de simulation
pour (essai en 1: essais) {
résultat = rbinom (n = périodes, taille = 1, prob = winprob)
ret = ifelse (résultat, retourne (1), retourne (2))
pour (i en 2: longueur (ret)) {
pour (j en 1: longueur (fractions)) {
bet = fractions (j)
richesse (essai, j, i) = richesse (essai, j, i-1) * (1 + bet * ret (i))
}
}
}

#Trial 1 Résultats
view.trial = 1
d <- fondre (richesse)
noms de colonnes (d) = c ('Trial', 'Fraction', 'Période', 'Eq')
d = sous-ensemble (d, Trial == view.trial)
d $ Fraction = as.factor (d $ Fraction)
niveaux (d $ Fraction) = coller («Investir», pourcentage (fractions, chiffres = 0), sep = ")
d (d $ Période == périodes, «Label») = d (d $ Période == périodes, «Eq»)
ggplot (d, aes (x = période, y = eq, col = fraction)) +
geom_line (size = 1) + scale_y_log10 () +
laboratoires (y = "valeur du portefeuille", x = "période") +
guides (col = guide_legend (title = "Allocation")) +
thème (légende.position = c (0.1, 0.9)) +
scale_color_manual (values = c (“rouge”, “bleu”, “vert”)) + #Ajustement si> 2 affectations
geom_label_repel (aes (label = rond (Label, digits = 2))),
nudge_x = 1, show.legend = F, na.rm = TRUE)

# Résultats tout procès
d = data.frame (richesse (,, périodes)) # dernière période seulement
noms de colonnes (d) = coller ("Invest", pourcentage (fractions, chiffres = 0), sep = ")
résumé (d)
nrow (sous-ensemble (d, d (, 2)> d (, 1))) / trial #Blue ahead of red
nrow (sous-ensemble (d, d (, 2)> d (, 3))) / trial #Blue ahead of green

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Tous les messages sont l'opinion de l'auteur. En tant que tels, ils ne doivent pas être interprétés comme un conseil en investissement, et les opinions exprimées ne reflètent pas nécessairement les vues du CFA Institute ou de l’employeur de l’auteur.

Alon Bochman, CFA, est partenaire du cabinet de conseil en marchés financiers de Genpact (NYSE: G), basé à New York. Il travaille avec les gestionnaires d'actifs et les banques pour les aider à prendre de meilleures décisions avec les données. Auparavant, il a géré pendant deux ans un portefeuille d'actions pour SC Fundamental. Bochman a débuté sa carrière en tant que programmeur en cofondant une société de logiciels de réseautage social finalement acquise par Thomson-Reuters. Il est titulaire d'un MBA de la Columbia Business School et d'un BA de l'université d'Albany.

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